Linhas quase paralelas: a geometria amplia a incerteza

Uma linha restringe uma posição possível, mas não escolhe sozinha um ponto. Duas linhas não paralelas têm uma intersecção matemática.

Isso não significa que o ponto esteja tão bem determinado quanto a nitidez do desenho sugere: pequenas alterações nas linhas podem deslocar muito a intersecção. Vamos estudar essa sensibilidade numa grelha abstracta, sem referências costeiras, instrumentos ou procedimentos de determinação de posição no mar.

No primeiro modelo, a linha A é horizontal e exacta: y=0. A linha B passa inicialmente pela origem e faz um ângulo θ com A.

Deslocamos B paralelamente, uma distância d medida perpendicularmente à própria B. Não rodamos a linha e não deslocamos A.

Estas condições são importantes: outra combinação de alterações seria outro problema. O novo ponto de cruzamento continua em A, mas afasta-se da origem.

As três relações formam um triângulo rectângulo. O lado de comprimento d é oposto ao ângulo θ, enquanto o afastamento do cruzamento ao longo de A é a hipotenusa.

Assim, sin(θ)=d/afastamento. Quando θ se aproxima de zero, o seno diminui e o mesmo deslocamento perpendicular corresponde a um afastamento maior.

A fórmula quantifica uma ampliação geométrica, não uma precisão de agulha ou um nível de confiança.

Se a alteração de B puder ser entre −2 e +2 m, o modelo admite uma faixa paralela em vez de uma linha única. Onde essa faixa cruza A, obtemos um intervalo.

A 30° vai de −4 a +4 m; a 10°, aproximadamente de −11,518 a +11,518 m. Isto é o conjunto de resultados admitidos pelos limites que inventámos.

Não é automaticamente um intervalo de 95%, porque não atribuímos uma distribuição de probabilidade às alterações.

Se também A tiver incerteza, a intersecção de duas faixas pode ser uma região, com forma dependente dos ângulos e larguras. Se ambas partilharem um deslocamento sistemático, o ponto ou a região podem estar deslocados em conjunto.

Acrescentar linhas não elimina necessariamente esse efeito comum. Ter mais relações matemáticas e ter relações independentes são propriedades diferentes; conhecer a origem da informação continua relevante.

Uma alteração angular também é diferente da translação paralela usada na conta. Rodar uma linha em redor de um ponto altera o seu afastamento noutros lugares; quanto mais longe do centro de rotação, maior pode ser esse afastamento.

Não se deve inserir um erro em graus no lugar de d em metros. Primeiro seria necessário formular outro modelo que relacionasse ângulo, distância e referência, conservando as unidades.

Duas linhas exactamente paralelas e distintas não se cruzam; duas coincidentes admitem infinitos pontos. Este limite explica por que a fórmula cresce sem fornecer uma posição quando sin(θ)=0.

Um computador pode desenhar uma intersecção com muitas casas decimais, mas não cria informação adicional sobre as entradas. Aprender esta geometria ajuda a compreender demoras e relações de posição; executar e validar observações reais é uma competência aplicada separada.